Ето една чисто математическа задача, която ще ви накара доста да се потрудите. Имаме цилиндричен кладенец, в дъното на който са пуснати две пръчки - 2 и 3 метра. И двете са застанали така, че гледани отгоре, покриват диаметъра на кладенеца и се пресичат в една точка (т.е. можем да приемем задачата за двуизмерна). Знаем, че разстоянието от точката на пресичане до дъното на кладенеца е точно 1 метър. Въпросът е какъв е диаметърът на кладенеца?04 Април 2008
Кладенчова задачка
Категории:
Математика и физика,
Тестове и загадки
Ето една чисто математическа задача, която ще ви накара доста да се потрудите. Имаме цилиндричен кладенец, в дъното на който са пуснати две пръчки - 2 и 3 метра. И двете са застанали така, че гледани отгоре, покриват диаметъра на кладенеца и се пресичат в една точка (т.е. можем да приемем задачата за двуизмерна). Знаем, че разстоянието от точката на пресичане до дъното на кладенеца е точно 1 метър. Въпросът е какъв е диаметърът на кладенеца?
|
|
Абонамент за:
Коментари за публикацията (Atom)
Материалите в този блог са по лиценз Creative Commons, освен ако не е упоменато друго.
Ако желаете да използвате материал от блога, прочетете 
19 коментари:
Между 1,20 и 1,30 :)
И как стигна до това заключение?
сигурно „от чертежа се вижда“.
иначе лесния начин не го виждам сега, а за три от неизвестните отсечки имам три уравнения, които ме мързи да реша : ) кажи поне дали няма мноого по лесен начин, че да не режа клечки и да меря?!?
Няма. Точният отговор е 1,2311929505971027935318620261578.
Имам 12 зависимости в система. :) Няколко косинусови теореми, малко подобни триъгълници и истината е някъде там. Понеже ме мързи да ги решавам, мислех да я пробвам с вектори, ама то и там ще стане една система... Трикова задачка, ама защо реши да я пуснеш точно като има изпити... :P
Задачата е забавна :)
тръгнах с питагор и подобия да изразявам ... сигурно така се решава ... ама съм на работа!
BTW Митко от час се мъчи с някакъв космически метод да я реши ... (не публикувай повече такива задачи! Пречиш на работния процес :D:D:D:D xaexaexaexaexaexeaexa)
Много лесно се стига до
((4-x^2)^0.5)*((9-x^2)^0.5)=((4-x^2)^0.5)+((9-x^2)^0.5) ,
което всеки добър уеб решавач на уравнения може да реши, но не казва как, най-вероятно с числени методи, а на мен не ми се мисли повече.
Ами разчертах го на аутокада и там се пада някъде, емпирично решение намерих така да се каже :)
Моят метод:
Нека разстоянието от допирната точка на 2-метровия прът до земята е a, а на еднометровия - b.
Тогава по Питагор:
a ^ 2 + x ^ 2 = 4
b ^ 2 + x ^ 2 = 9
Вадим от второто уравнение първото:
b ^ 2 - a ^ 2 = 5
С разни сметки с лица се получва, че:
a = b / (b - 1)
Заместваме:
b ^ 2 - (b / (b - 1)) ^ 2 = 5.
За решаването на това уравнение ползвах:
http://www.hostsrv.com/webmab/app1/MSP/quickmath/02/pageGenerate?site=quickmath&s1=equations&s2=solve&s3=basic
=> b = 2.73572
и x = (9 - b ^ 2) ^ 0.5 = 1.2311929505971027935318620261578
според Windows-овския калкулатор.
Поздрави,
Слави
Като любител на геометрията пробвах разни построения и достигнах до заключението, че задачата няма еднозначен отговор. Решението варира между 0 и квадратен корен от 3 (1.732050808).
Готина тема :)
Много ми хареса решението на nixi... дет се вика практично :) Инженерно решение.
Аз се опитах чрез някоя от наличните зависимости да докарам задачата да елементарно уравнение .... цък.
Поздрави за задачата позабавлявах се :)
П.П. Има нещо романтично в условието дадените страни са 1,2, и 3 а отговора е 1.23 :)
Трябва да проверим ако страните са съответно 5,6,7 дали ще е 5.67 (шегувам се разбира се)
две косинусови теореми, една синусова и една системка и отговора ми с на пешо съвпада.
Като никога съм била на прав път, но ако бях стигнала до отговор 1,2311ххххххх щях да реша, че имам грешка
Дам. И според Mathematica отговорът е 1.23119 ябълки ;)
Ето го и моят подход, за протокола:
Имаме две функции, f(x) и g(x). Търсеният диаметър на кладенеца - хоризонталната отсечка - нека означим с 'a'.
(разглеждаме първи квадрант на координатна система, с точка (0,0) в началото на червената пръчка в дъното на кладенеца)
f(x) = x*((4-a^2)^0.5)/a ,
това е червената пръчка, тя е с дължина 2 метра, следователно в дясната си част е над земята с корен квадратен от (4 - a*a) метра, или (4 - a^2) ^ 0.5, ако с ^ означим степенуването. Това е височината след 'a' метри. Следователно с всяка единица функцията се покачва с ((4-a^2)^0.5)/a. f(0) = 0.
g(x) = ((9-a^2)^0.5) - x*((9-a^2)^0.5)/a
Това е синята пръчка - изчисленията са почти същите, с разликата че при нея функцията е намаляваща, и g(0) = ((9-a^2)^0.5)
За да се засекат функциите, трябва f(x) = g(x). И когато се засекат и двете трябва да са на 1 метър от земята, или
f(x) = g(x) = 1
или
x*((4-a^2)^0.5)/a = ((9-a^2)^0.5) - x*((9-a^2)^0.5)/a = 1
Изразяваме x = a / ((4-a^2)^0.5) и получаваме:
((9-a^2)^0.5) - ((9-a^2)^0.5)/((4-a^2)^0.5) = 1
от където стигаме и до:
((4-a^2)^0.5)*((9-a^2)^0.5)=((4-a^2)^0.5)+((9-a^2)^0.5)
Където 'a' е диаметъра на кладенеца в метри. Решение с точност до знак X се намира лесно като се разпише някои числен метод за намиране корени, или се използва програма като Mathematica.
По-интересно е как се намира точният отговор. Как се решава това последното уравнение?
Вместо да обяснявам, вижте моето решение в един форум по математика
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=7527
Публикуване на коментар